盧仲毅 研究組 供稿?

拓?fù)湮镔|(zhì)形態(tài)，如具有拓?fù)湫虻牧孔踊魻枒B(tài)以及拓?fù)浣^緣體，是近年來凝聚態(tài)物理領(lǐng)域最大的進(jìn)展之一。在拓?fù)浣^緣體中加入電子之間的強關(guān)聯(lián)相互作用，研究可能涌現(xiàn)的新的拓?fù)湮飸B(tài)，以及拓?fù)湮飸B(tài)之間由于相互作用驅(qū)動的拓?fù)湎嘧?，是人們關(guān)心的問題。前期拓?fù)浣^緣體的理論和實驗研究，主要集中于無相互作用或弱相互作用系統(tǒng)，而對于強關(guān)聯(lián)電子系統(tǒng)中的拓?fù)湎嘧兒屯負(fù)洳蛔兞康木_計算卻付之闕如，并且往往存在把無相互作用系統(tǒng)中的拓?fù)洳蛔兞坑嬎惴椒ê唵瓮茝V到相互作用系統(tǒng)中，造成概念和實踐上的混亂等等現(xiàn)象。因此，如何正確計算相互作用電子系統(tǒng)中的拓?fù)洳蛔兞?，探測相互作用驅(qū)動的拓?fù)湎嘧兒屯負(fù)湮飸B(tài)，是十分基礎(chǔ)的問題。

中國人民大學(xué)博士研究生何院耀、鄔漢青，教授盧仲毅，中國科學(xué)院物理研究所/北京凝聚態(tài)國家實驗室T03組副研究員孟子楊組成的研究團(tuán)隊，在相互作用拓?fù)浣^緣體中拓?fù)洳蛔兞康臄?shù)值計算方面，開展了系統(tǒng)的工作，取得了進(jìn)展。他們首先發(fā)展了計算相互作用電子系統(tǒng)的拓?fù)洳蛔兞康臄?shù)值方法，并運用大規(guī)模量子蒙特卡洛計算在常見的拓?fù)浣^緣體模型中進(jìn)行了數(shù)值實現(xiàn)；然后，更有意思的是，他們找到并嚴(yán)格計算了幾種相互作用驅(qū)動的、沒有對稱性自然破缺的拓?fù)淞孔酉嘧?，發(fā)現(xiàn)目前被大量使用的、通過單粒子格林函數(shù)計算拓?fù)洳蛔兞康姆椒▽τ谶@類拓?fù)湎嘧兺耆?，指出了現(xiàn)有的拓?fù)洳蛔兞坷碚摚谙驈婈P(guān)聯(lián)電子系統(tǒng)拓展時，不能依靠單粒子格林函數(shù)來計算，而需要在集體激發(fā)中尋找系統(tǒng)的拓?fù)湫畔?，澄清了理論上的混亂和誤區(qū)。

如圖1、圖2所示，在上述研究工作的前半部分中，他們運用相互作用系統(tǒng)中的零頻率單粒子格林函數(shù)，設(shè)計了準(zhǔn)確計算Z2不變量和自旋陳數(shù)的計算方法。由于量子蒙特卡洛方法都是計算有限尺寸的系統(tǒng)，自旋陳數(shù)因為有限尺寸效應(yīng)得到的都是非整數(shù)的結(jié)果，他們借鑒了團(tuán)簇動力學(xué)平均場理論中的周期化方案，提出一種針對周期函數(shù)的差值方案，有效地克服了自旋陳數(shù)結(jié)果的有限尺寸效應(yīng)，使得即使對于有限尺寸系統(tǒng)也能計算得到整數(shù)化的自旋陳數(shù)。

如圖3、圖4所示，在上述研究工作的后半部分中，他們使用自己發(fā)展的計算自旋陳數(shù)的方法探測了一些相互作用驅(qū)動的、沒有對稱性自發(fā)破缺的拓?fù)淞孔酉嘧?，發(fā)現(xiàn)在某些直積態(tài)（拓?fù)淦接箲B(tài)，自旋霍爾電導(dǎo)率為0）系統(tǒng)中，數(shù)值計算得到了非零的自旋陳數(shù)。顯然，這個非零自旋陳數(shù)并不對應(yīng)物理上可觀測的自旋霍爾電導(dǎo)率，因為后者在直積態(tài)為0。這說明用單粒子格林函數(shù)構(gòu)造的自旋陳數(shù)在這樣的直積態(tài)中失效，而他們發(fā)現(xiàn)這樣的直積態(tài)的共同特點是沒有無相互作用的絕緣體能與之不經(jīng)歷相變地、沒有對稱性破缺地連接。

這樣現(xiàn)象背后的原因在于，在無相互作用電子系統(tǒng)中，拓?fù)洳蛔兞坑写_定的物理意義，即對應(yīng)系統(tǒng)可觀測的（自旋）霍爾電導(dǎo)率。但是在相互作用電子系統(tǒng)中，用單粒子格林函數(shù)構(gòu)造的拓?fù)洳蛔兞坎⒉粚?yīng)于系統(tǒng)中真實的（自旋）霍爾電導(dǎo)率。長期以來人們一直有這樣的懷疑，但是并沒有找到真正的例子。盧仲毅和孟子楊團(tuán)隊的研究工作首次從數(shù)值的角度通過嚴(yán)格的數(shù)值計算給出了用單粒子格林函數(shù)構(gòu)造的拓?fù)洳蛔兞吭谙嗷プ饔猛負(fù)浣^緣體中失效的證據(jù)，給出了用單粒子格林函數(shù)構(gòu)造的拓?fù)洳蛔兞康倪m用條件，指出了在一大類相互作用的拓?fù)湮飸B(tài)中需要在集體激發(fā)中尋找系統(tǒng)的拓?fù)湫畔ⅰ?

從現(xiàn)有的研究工作來看，相互作用電子系統(tǒng)中拓?fù)洳蛔兞康臉?gòu)造和分類還遠(yuǎn)不完備，需要使用什么樣的拓?fù)洳蛔兞縼淼孛枋鱿嗷プ饔昧孔酉嗟耐負(fù)湫再|(zhì)是正在快速發(fā)展的領(lǐng)域。盧仲毅和孟子楊團(tuán)隊這一系列工作推動了相互作用拓?fù)湮飸B(tài)中拓?fù)洳蛔兞康臄?shù)值計算和拓?fù)湎嘧兊难芯俊Ｔ摴ぷ鞣直粸閮善^長篇幅的文章，連載地發(fā)表在Physical?Review?B（Phys.?Rev.?B?93,?195163?(2016)?和?Phys.?Rev.?B?93,?195164?(2016)）。

上述工作得到了國家青年千人計劃（孟子楊），國家自然科學(xué)基金和國家基礎(chǔ)科學(xué)研究計劃（何院耀、鄔漢青、孟子楊、盧仲毅）的支持。量子蒙特卡洛模擬所需的大規(guī)模的并行計算在中國科學(xué)院物理研究所量子科學(xué)模擬中心，中國人民大學(xué)物理系高性能并行計算物理實驗室，天津國家超算中心天河1號、廣州國家超算中心天河2號等計算平臺上完成，計算過程中得到了天津國家超算中心的有力配合。

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Fig.?1.?（a）相互作用拓?fù)浣^緣體中的?Kane-Mele-Hubbard?模型，系統(tǒng)具有最近臨躍遷t，自旋軌道耦合lambda，三近鄰躍遷?t3,?以及可以驅(qū)動系統(tǒng)進(jìn)入能帶絕緣體的最近臨躍遷?td,?和庫侖相互作用?U。（b）系統(tǒng)的布里淵區(qū)。

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Fig.?2.(上圖左圖)由三近鄰躍遷?t3/t?導(dǎo)致的系統(tǒng)拓?fù)湎嘧儯?a)?顯示?Z2?不變量的變化，（b）,（c）顯示系統(tǒng)自旋陳數(shù)的變化。在自旋陳數(shù)的變化中，L=12?和?L=18?的數(shù)據(jù)為有限尺度蒙特卡洛計算的結(jié)果，可以看到有限尺度系統(tǒng)的自旋陳數(shù)并沒有整數(shù)化。而（b），（c）中的?Interpolation?結(jié)果為我們提出的周期函數(shù)差值所得的拓?fù)洳蛔兞浚梢钥吹接邢蕹叨刃?yīng)被克服，系統(tǒng)自旋陳數(shù)整數(shù)化。

??Fig.?3.?(上圖中圖)（a），（?b）相互作用拓?fù)浣^緣體的雙層?Kane-Mele-Hubbard-Heisenberg?模型，模型中層間電子的Heisenberg?J?相互作用將會導(dǎo)致新型的相互作用驅(qū)動的拓?fù)湎嘧?，相變中沒有對稱性自發(fā)破缺，系統(tǒng)進(jìn)入拓?fù)淦接沟?dimer-singlet?直積態(tài)。這樣的拓?fù)湎嘧兪怯脝瘟Ｗ痈窳趾瘮?shù)所構(gòu)造的拓?fù)洳蛔兞克鶡o法描述的（見Fig.?4），系統(tǒng)的拓?fù)湫畔⒁诩w激發(fā)中尋找。

Fig.?4.?(上圖右圖)（a），（b）相互作用拓?fù)浣^緣體雙層?Kane-Mele-Hubbard-Heisenberg?模型中，層間電子的Heisenberg?J?相互作用導(dǎo)致的拓?fù)湎嘧?，單粒子格林函?shù)所構(gòu)造的自旋陳數(shù)，在相變的左右兩邊都是整數(shù)化的，而在大?J?的?dimer-singlet?相中，系統(tǒng)的自旋霍爾電導(dǎo)率應(yīng)該為零，這就說明了，在這個相互作用驅(qū)動的拓?fù)湎嘧冎校瑔瘟Ｗ痈窳趾瘮?shù)不能正確反應(yīng)系統(tǒng)的自旋霍爾電導(dǎo)率。